ভেক্টরের গুণন বলতে দুটি ভিন্ন ধরনের গুণন বোঝানো হয়: ডট প্রোডাক্ট (স্কেলার গুণন) এবং ক্রস প্রোডাক্ট (ভেক্টর গুণন)। এদের প্রতিটি গুণন ভিন্ন গাণিতিক ফলাফল প্রদান করে এবং ভিন্নভাবে ব্যবহার করা হয়।

ডট প্রোডাক্ট (Dot Product)

ডট প্রোডাক্ট হল দুটি ভেক্টরের মধ্যে স্কেলার গুণন। এটি দুটি ভেক্টরের মান এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের উপর ভিত্তি করে একটি স্কেলার মান দেয়।

সূত্র:

যদি দুটি ভেক্টর $\vec{A} = A_x i + A_y j + A_z k$ এবং $\vec{B} = B_x i + B_y j + B_z k$ হয়, তাহলে তাদের ডট প্রোডাক্ট হয়:

A⋅B=Ax​Bx​+Ay​By​+Az​Bz​

অথবা, ডট প্রোডাক্টকে কোণের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়:

A⋅B=∣A∣∣B∣cosθ

এখানে,

• $|\vec{A}|$ এবং $|\vec{B}|$ হল ভেক্টর $\vec{A}$ এবং $\vec{B}$-এর মান।
• $\theta$ হল $\vec{A}$ এবং $\vec{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ।

উদাহরণ:

ধরা যাক, $\vec{A} = 2i + 3j + 4k$ এবং $\vec{B} = i + 2j + 3k$। তাহলে তাদের ডট প্রোডাক্ট হবে:

A⋅B=(2×1)+(3×2)+(4×3)=2+6+12=20

বৈশিষ্ট্য:

• ডট প্রোডাক্ট দুটি ভেক্টরের মধ্যে কোণ নির্ণয়ে সহায়ক।
• যদি $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ হয়, তাহলে ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব।

ক্রস প্রোডাক্ট (Cross Product)

ক্রস প্রোডাক্ট হল দুটি ভেক্টরের মধ্যে ভেক্টর গুণন, যা একটি নতুন ভেক্টর উৎপন্ন করে। এই নতুন ভেক্টরটি দুটি মূল ভেক্টরের সমতলে লম্বভাবে থাকে।

সূত্র:

যদি দুটি ভেক্টর $\vec{A} = A_x i + A_y j + A_z k$ এবং $\vec{B} = B_x i + B_y j + B_z k$ হয়, তাহলে তাদের ক্রস প্রোডাক্ট হবে:

A×B=(Ay​Bz​−Az​By​)i−(Ax​Bz​−Az​Bx​)j+(Ax​By​−Ay​Bx​)k

অথবা, ক্রস প্রোডাক্টকে কোণের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়:

∣A×B∣=∣A∣∣B∣sinθ

এখানে,

• $|\vec{A}|$ এবং $|\vec{B}|$ হল ভেক্টর $\vec{A}$ এবং $\vec{B}$-এর মান।
• $\theta$ হল $\vec{A}$ এবং $\vec{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ।

উদাহরণ:

ধরা যাক, $\vec{A} = 2i + 3j + 4k$ এবং $\vec{B} = i + 2j + 3k$। তাহলে তাদের ক্রস প্রোডাক্ট হবে:

$$= (9 - 8)i - (6 - 4)j + (4 - 3)k = i - 2j + k$$

বৈশিষ্ট্য:

• ক্রস প্রোডাক্টে উৎপন্ন ভেক্টরটি দুটি মূল ভেক্টরের সমতলে লম্ব।
• যদি $\vec{A}$ এবং $\vec{B}$ পরস্পর সমান্তরাল হয়, তাহলে $\vec{A} \times \vec{B} = 0$ হয়।